Perbedaan Hari Raya

Perbedaan Hari Raya seringkali terjadi. Membingungkan. Betulkah membingungkan? Apa sih yang sebetulnya membuat bingung?

sumber: Islamic Crescents' Observation Project (ICOP)

Misalkan saja besok (relatif terhadap saat ketika tulisan ini dibuat) tanggal 17 Mei 2011, bertepatan dengan tanggal 1 Ramadhan 1432. Misal, sekali lagi, misalkan. Ini cuma contoh.

Coba pikirkan baik-baik, apa kenapa kita gunakan kata "bertepatan" pada kalimat di atas? Apa sih yang sebetulnya bertepatan? Apakah ketika tanggal di kalender berganti dari 16 Mei menjadi 17 Mei, kalender Hijriah juga ikut berganti dari tanggal 29 Sya'ban menjadi 1 Ramadhan?

Pikirkan baik-baik. Kapan sebetulnya pergantian hari dalam sistem kalender Hijriah terjadi? Apakah sama dengan pergantian hari dalam sistem kalender Masehi?

Kedua, terkait dengan perbedaan hari. Ketika di Indonesia tanggal 17 Mei 2011, misalkan saja pada saat waktu menunjukkan pukul 08.00 pagi Waktu Indonesia bagian Barat (WIB), kalender Masehi mengatakan hari itu hari Selasa.

Pikirkan baik-baik kenyataan berikut ini: Pada saat yang sama, ketika di Indonesia waktu menunjukkan pukul 08.00 WIB, hari Selasa tanggal 17 Mei 2011, di New York, Amerika Serikat, apakah waktu kalender menunjukkan hari Selasa juga? Kenapa bisa berbeda, nyatanya pada saat yang sama di New York "masih" hari Senin, tanggal 16 Mei 2011.

Padahal saatnya sama, detik itu juga. Jika ada dua orang yang melakukan chatting, pesan yang mereka kirim dan terima bukan berarti mengalami penundaan (delay) selama satu hari bukan? Di saat orang Indonesia mengetik pesan, pesan itu ditulisnya pada hari Selasa, dan diterima oleh rekannya di New York pada hari Senin.

Ketiga. Masih tentang perbedaan hari raya. Jika di Indonesia orang-orang merayakan hari Natal, 25 Desember 2011. Sebagian orang merayakannya dengan menghadiri misa natal pada pukul 00.00 WIB, tanggal 25 Desember 2011. Pikirkan baik-baik: Apakah pada saat yang sama, saudara-saudara mereka di New York, sudah merayakan hari raya Natal?

Kenapa ada perbedaan? Kenapa? Mengapa?

Dan terakhir, jika di New York, Hilal yang menandakan masuknya bulan Ramadhan sudah bisa terlihat pada saat senja, ketika matahari terbenam ketika seruan sholat Maghrib berkumandang di sana. Apakah di Indonesia kemudian harus melangsungkan sholat tarawih? Padahal ada perbedaan waktu 12 jam antara Indonesia bagian Barat (WIB) dengan kota New York.

Dua belas jam sebelumnya, ketika orang-orang di Indonesia mencoba merukyat Hilal, sang Hilal masih malu-malu menampakkan diri, karena jarak yang masih terlalu dekat dengan matahari sehingga sangat mustahil terlihat. Karena belum bisa melihat Hilal, orang-orang di Indonesia masih meneruskan bulan Sya'ban, dan menetapkan bulan Ramadhan belum masuk. Padahal, dari tiga pemikiran sebelumnya di atas, seharusnya Indonesia "lebih dulu" masuk hari Selasa dibandingkan New York yang "masih" hari Senin. Tapi orang-orang di New York sudah mulai melakukan shalat tarawih, pada hari Senin malam. Sementara di Indonesia hari Selasa pagi mereka bangun untuk sholat Subuh, masih belum sempat sahur untuk melaksanakan ibadah shaum Ramadhan.

Cobalah renungkan baik-baik.

Sorting by Reversals

Diberikan sebuah barisan, untuk sederhananya, barisan bilangan bulat. Misalnya:
\[ A = 1, 6, 7, 4, 2, 5, 8, 3, 9, 0 \]

Sejatinya barisan bilangan seperti $A$ di atas bisa dikatakan sebagai sebuah permutasi dari barisan bilangan $B$ seperti ini:
\[B = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \]

Salah satu masalah yang sering diajukan  berkaitan dengan sederetan data seperti ini adalah bagaimana caranya agar deretan data permutasi ini bisa dijadikan sebuah deretan bilangan berurut. Pada contoh di atas, bagaimana caranya mengubah permutasi $A$ menjadi sebuah permutasi berurut $B$. Permutasi berurut seperti yang ditunjukkan oleh barisan $B$ kadang disebut juga sebagai permutasi identitas.

Ada banyak algoritma komputasi yang bisa digunakan untuk memecahkan masalah ini. Beberapa di antaranya misalnya bubble sort, insertion sort, selection sort, quick sort, merge sort. Salah satu teknik yang jarang dibahas namun mudah dipahami adalah dengan menggunakan operasi pembalikan (reversal) terhadap sub-barisan.

Sebelum membahas sub-barisan dan bagaimana membalik sub-barisan pada sebuah permutasi data, kita definisikan dulu posisi dari setiap elemen yang terdapat di dalam permutasi yang diberikan.

Setiap elemen pada sebuah permutasi data dimulai dari posisi paling kiri dengan posisi nomor $1$. Seterusnya ke kanan elemen-elemen berikutnya akan menempati posisi $2$, $3$, dan seterusnya hingga posisi ke-$n$.

Sub-barisan $M_{i,j}$ merujuk pada elemen-elemen pada permutasi data $M$ yang menempati posisi ke-$i$ hingga posisi ke-$j$, inklusif. Sebagai contoh pada barisan $A$ di atas, posisi $A_{1}$ hingga $A_{3}$ adalah sebuah sub-barisan.
\[A_{1,3} = 1, 6, 7 \]

Dengan menggunakan pemahaman akan permutasi, permutasi identitas, posisi, dan sub-barisan, kita bisa mulai membahas bagaimana melakukan pengurutan data dengan pembalikan (Sorting by Reversals).

Perhatikan barisan $A$ di atas (diulang berikut ini agar lebih mudah):
\[ A = 1, 6, 7, 4, 2, 5, 8, 3, 9, 0 \]

Jika kita menginginkan data-data pada barisan $A$ terurut, maka kita harus memindahkan data pada posisi ke-$10$ yaitu $0$, ke posisi pertama. Berdasarkan intuisi ini, maka kita perlu membalik sub-barisan $A_{1,10}$ agar $0$ bisa menempati posisi pertama.
\[ A_{a} = \underline{1, 6, 7, 4, 2, 5, 8, 3, 9, 0} \]
\[ A_{b} = \underline{0, 9, 3, 8, 5, 2, 4, 7, 6, 1} \]

Barisan $A_{b}$ menyisakan $9$ data lain yang masih belum berada pada posisi yang benar. Data berikutnya yang harus dipindahkan agar barisan $A_{b}$ semakin mendekati ke permutasi identitas adalah $1$ yang pada contoh ini kebetulan berada pada posisi ke-$10$. Maka sub-barisan $A_{b}$ dari posisi $1$ hingga posisi $10$ dibalik sehingga mendapatkan permutasi data yang baru:
\[ A_{b} = 0, \underline{9, 3, 8, 5, 2, 4, 7, 6, 1} \]
\[ A_{c} = 0, \underline{1, 6, 7, 4, 2, 5, 8, 3, 9} \]

Langkah iterasi berikutnya adalah memindahkan data $2$ ke tempat yang benar. Pada iterasi kali ini, hanya sub-barisan dari posisi $3$ hingga posisi $6$ saja yang perlu dibalik.
\[ A_{c} = 0, 1, \underline{6, 7, 4, 2}, 5, 8, 3, 9 \]
\[ A_{d} = 0, 1, \underline{2, 4, 7, 6}, 5, 8, 3, 9 \]

Demikian seterusnya iterasi dilakukan sehingga didapatkan sebuah permutasi identitas.
\[ A_{d} = 0, 1, 2, \underline{4, 7, 6, 5, 8, 3}, 9 \]
\[ A_{e} = 0, 1, 2, 3, \underline{8, 5, 6, 7, 4}, 9 \]
\[ A_{f} = 0, 1, 2, 3, 4, \underline{7, 6, 5}, 8, 9 \]
\[ A_{g} = 0, 1, 2, 3, 4, \underline{5, 6, 7}, 8, 9 \]